Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt

Regel von l'Hospital

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein offenes Intervall und  $a\in I$  ein Punkt. Es seien

$f,g:I⟶ℝ$

stetige Funktionen, die auf $I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit  $f(a)=g(a)=0$  und mit  $g^{\prime }(x)\ne 0$  für  $x\ne a$.  Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

$w:={\lim }_{x\in I\setminus \{a\},x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

${\lim }_{x\in I\setminus \{a\},x\to a}\frac{f(x)}{g(x)},$

und sein Wert ist ebenfalls $w$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen