Hospital/Differenzierbar im Innern/Fakt

Regel von l'Hospital

Es sei  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein offenes Intervall und  ${}a\in I$  ein Punkt. Es seien

$f,g\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen, die auf ${}I\setminus \{a\}$ differenzierbar seien mit  ${}f(a)=g(a)=0$  und mit  ${}g'(x)\neq 0$  für  ${}x\neq a$.  Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert

${}w:=\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\,$

existiert.

Dann existiert auch der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\in I\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}},$

und sein Wert ist ebenfalls ${}w$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen