Grenzwert/Hospital und Polynomdivision/x^2-3x+2 durch x^3-2x+1/x ist 1/Aufgabe/Lösung

a) Durch Polynomdivision erhält man  ${}x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$  und  ${}x^{3}-2x+1=(x-1)(x^{2}+x-1)$.  Daher ist

${}{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}={\frac {x-2}{x^{2}+x-1}}\,.$

Daher ist

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x-2}{x^{2}+x-1}}={\frac {-1}{1}}=-1\,.$

b) Die Ableitungen sind  ${}(x^{2}-3x+2)'=2x-3$  und  ${}(x^{3}-2x+1)'=3x^{2}-2$,  die beide für  ${}x=1$  keine Nullstelle besitzen. Nach der Regel von l'Hospital ist daher

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {x^{2}-3x+2}{x^{3}-2x+1}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 1}\,{\frac {2x-3}{3x^{2}-2}}={\frac {-1}{1}}=-1\,.$

Zur gelösten Aufgabe