Grundkurs Mathematik/Axiomatik/Elementare Einführung/Textabschnitt

Wir haben schon für die intuitiv bekannten natürlichen Zahlen ein Axiomensystem eingeführt, das speziell auf die natürlichen Zahlen zugeschnitten war und das sogar die Eigenschaft besitzt, dass es die natürlichen Zahlen in dem Sinne charakterisiert, das je zwei Strukturen (je zwei Modelle), die dieses Axiomensystem erfüllen, zueinander in eine eindeutige Beziehung gebracht werden können, also im Wesentlichen gleich sind (siehe Fakt).

In dieser Vorlesung werden wir eine andere Art von Axiomensystem kennenlernen, wie sie in der Mathematik typisch ist. Man fasst verschiedene strukturelle Eigenschaften, die in einem bestimmten Kontext immer wieder auftauchen, in einen neuen Begriff zusammen. Das Ziel ist dabei, weitere Eigenschaften aus einigen wenigen Grundeigenschaften logisch zu erschließen. Man argumentiert dann nicht auf der Ebene vertrauter Beispiele, wie der natürlichen Zahlen, sondern auf der Ebene der Eigenschaften. Der Gewinn ist dabei, dass man mathematische Schlüsse nur einmal auf der abstrakten Ebene der Eigenschaften durchführen muss und diese dann für alle Modelle gelten, die die jeweiligen Grundeigenschaften erfüllen, also unter den Begriff fallen. Zugleich erkennt man logische Abhängigkeiten und Hierarchien zwischen Eigenschaften, die häufig auch im Lernprozess versteckt vorliegen und auch eine gewisse Orientierung für die Didaktik geben, selbst wenn nicht axiomatisch argumentiert wird.

In diesem Sinne werden wir im Laufe der Vorlesung die Begriffe Halbringe, Ringe, Gruppen und Körper kennenlernen (auch der Ordnungsbegriff ist ein axiomatischer Begriff).