Gruppe/Isomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also ${}(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung

$\exp \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} _{+},\,x\longmapsto \exp(x),$

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes

${}\exp(x+y)=e^{x+y}=e^{x}e^{y}=\exp(x)\exp(y)\,.$

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

Lemma

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon H\longrightarrow G,\,h\longmapsto \varphi ^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Dies folgt aus

${}{\begin{aligned}\varphi ^{-1}(h_{1}h_{2})&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi (\varphi ^{-1}(h_{1}))\varphi (\varphi ^{-1}(h_{2}))\right)}\\&=\varphi ^{-1}{\left(\varphi {\left(\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2})\right)}\right)}\\&=\varphi ^{-1}(h_{1})\varphi ^{-1}(h_{2}).\end{aligned}}$

$\Box$

Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen.