Gruppe/Isomorphismus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\phi :G⟶H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Definition

Die Gruppen $H$ und $G$ heißen isomorph, wenn es einen Gruppenisomorphismus $\phi :G\to H$ gibt.

Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also $(ℝ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also $({ℝ}_{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung

$\exp :ℝ⟶{ℝ}_{+},x⟼\exp (x),$

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

$\exp (x+y)=e^{x+y}=e^x{e}^y=\exp (x)\exp (y).$

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

${\phi }^{-1}:H⟶G,h⟼{\phi }^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Dies folgt aus

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}\left(h_1{h}_2\right)& ={\phi }^{-1}\left(\phi \left({\phi }^{-1}\left(h_1\right)\right)\phi \left({\phi }^{-1}\left(h_2\right)\right)\right)\\ & ={\phi }^{-1}\left(\phi \left({\phi }^{-1}\left(h_1\right){\phi }^{-1}\left(h_2\right)\right)\right)\\ & ={\phi }^{-1}\left(h_1\right){\phi }^{-1}\left(h_2\right).\end{array}$

$◻$

Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen.