Gruppe/Normalteiler/Restklassengruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Da die kanonische Projektion zu einem Gruppenhomomorphismus werden soll, muss die Verknüpfung durch

$[x][y]=[xy]$

gegeben sein. Wir müssen also zeigen, dass durch diese Vorschrift eine wohldefinierte Verknüpfung auf $G/H$ definiert ist, die unabhängig von der Wahl der Repräsentanten ist. D.h. wir haben für $[x]=[x^{\prime }]$ und $[y]=[y^{\prime }]$ zu zeigen, dass  $[xy]=[x^{\prime }{y}^{\prime }]$  ist. Nach Voraussetzung können wir $x^{\prime }=xh$ und $h{y}^{\prime }=\tilde{h}y=y{h}^{\prime }$ mit  $h,\tilde{h},h^{\prime }\in H$  schreiben. Damit ist

$x^{\prime }{y}^{\prime }=(xh)y^{\prime }=x(h{y}^{\prime })=x(y{h}^{\prime })=xy{h}^{\prime }.$

Somit ist  $[xy]=[x^{\prime }{y}^{\prime }]$.  Aus der Wohldefiniertheit der Verknüpfung auf $G/H$ folgen die Gruppeneigenschaften, die Homomorphieeigenschaft der Projektion und die Eindeutigkeit.

Zur bewiesenen Aussage