Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Restklassengruppen von Z/Beispiel

Wir betrachten die beiden surjektiven Gruppenhomomorphismen

$\phi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(4)$

und

$\psi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(12).$

Es ist

$\mathrm{kern}\psi =\mathbb{Z}\cdot 12\subseteq \mathbb{Z}\cdot 4=\mathrm{kern}\phi .$

Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\phi }:\mathbb{Z}/(12)⟶\mathbb{Z}/(4),$

der mit den Restabbildungen verträglich ist. Dieser bildet den Rest der Zahl bei Division durch $12$ auf den Rest bei Division durch $4$ ab. Der Satz beinhaltet insbesondere die Aussage, dass dieser letztere Rest allein vom ersten Rest abhängt, nicht von der Zahl selbst.

Wenn man hingegen

$\phi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(5)$

und

$\psi :\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(12)$

betrachtet, so ist

$\mathrm{kern}\psi =\mathbb{Z}\cdot 12\subseteq ̸\mathbb{Z}\cdot 5=\mathrm{kern}\phi$

und es gibt keine natürliche Abbildung

$\mathbb{Z}/(12)⟶\mathbb{Z}/(5).$

Beispielsweise haben $1,13,25,37,49$, die alle modulo $12$ den Rest $1$ haben, modulo $5$ die Reste $1,3,0,2,4$.