Gruppenhomomorphismus/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element  ${}u\in Q$  gibt es mindestens ein ${}g\in G$ mit ${}\psi (g)=u$. Wegen der Kommutativität des Diagramms muss

${}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,$

gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein ${}{\tilde {\varphi }}$ geben kann.
Wir müssen zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also  ${}g,g'\in G$  zwei Urbilder von ${}u$. Dann ist

${}\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,$

und somit ist  ${}g'g^{-1}\in \operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi$.  Daher ist  ${}\varphi (g)=\varphi (g')$.  Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien  ${}u,v\in Q$  und seien  ${}g,h\in G$  Urbilder davon. Dann ist ${}gh$ ein Urbild von ${}uv$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.$

D.h. ${}{\tilde {\varphi }}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage