Beweis
Wir zeigen zuerst die Eindeutigkeit. Für jedes Element
gibt es mindestens ein
mit
.
Wegen der Kommutativität des Diagramms muss
-
![{\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(u)=\varphi (g)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/245e22dac679658498321ad9007f82b90be6d6b6)
gelten. Das bedeutet, dass es maximal ein
geben kann.
Wir haben zu zeigen, dass durch diese Bedingung eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist. Es seien also
zwei Urbilder von
. Dann ist
-
![{\displaystyle {}\psi {\left(g'g^{-1}\right)}=uu^{-1}=e_{Q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e390575c1552346d4fe271fae65ef1da89ab1b76)
und somit ist
.
Daher ist
.
Die Abbildung ist also wohldefiniert. Seien
und seien
Urbilder davon. Dann ist
ein Urbild von
und daher ist
-
![{\displaystyle {}{\tilde {\varphi }}(uv)=\varphi (gh)=\varphi (g)\varphi (h)={\tilde {\varphi }}(u){\tilde {\varphi }}(v)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c590b6b7ebfc3f97c18529976689185fee3a08c)
D.h.
ist ein Gruppenhomomorphismus.