Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wenn $\phi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element  $h\in H$  höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.  $\ker \phi =\{e_G\}$.  Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass  $g,\tilde{g}\in G$  beide auf  $h\in H$  geschickt werden. Dann ist

$\phi \left(g{\tilde{g}}^{-1}\right)=\phi (g)\phi (\tilde{g}{)}^{-1}=h{h}^{-1}=e_H$

und damit ist  $g{\tilde{g}}^{-1}\in \mathrm{kern}\phi$,  also  $g{\tilde{g}}^{-1}=e_G$  nach Voraussetzung und damit

 $g=\tilde{g}$. 

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