Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

$\phi (e_G)=\phi (e_G{e}_G)=\phi (e_G)\phi (e_G).$

Durch Multiplikation mit $\phi (e_G{)}^{-1}$ folgt  $e_H=\phi (e_G)$. 
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

$\phi \left(g^{-1}\right)\phi (g)=\phi \left(g^{-1}g\right)=\phi (e_G)=e_H.$

Das heißt, dass $\phi \left(g^{-1}\right)$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\phi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss  $\phi \left(g^{-1}\right)=(\phi (g){)}^{-1}$  gelten.

Zur bewiesenen Aussage