Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}F,G,H$ Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität

   $\operatorname {Id} \colon G\longrightarrow G$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Sind ${}\varphi :F\rightarrow G$ und ${}\psi :G\rightarrow H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}\psi \circ \varphi \colon F\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus.
3. Ist ${}F\subseteq G$ eine Untergruppe, so ist die Inklusion ${}F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
4. Es sei ${}\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung ${}\{e\}\rightarrow G$, die ${}e$ auf ${}e_{G}$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ${}G\rightarrow \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

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