Gruppenhomomorphismus/Kern/Normalteiler/Fakt/Beweis

Beweis

Eine Untergruppe liegt aufgrund von Fakt vor. Wir verwenden Fakt. Es sei also ${}x\in G$ beliebig und ${}h\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi {\left(xhx^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (h)\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)e_{H}\varphi {\left(x^{-1}\right)}=\varphi (x)\varphi (x)^{-1}=e_{H}\,,$

also gehört ${}xhx^{-1}$ ebenfalls zum Kern.

Zur bewiesenen Aussage