Gruppenhomomorphismus/Kern/Untergruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen  ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$  ist  ${}e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$.  Seien  ${}g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$.  Dann ist

${}\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$

und daher ist auch  ${}gg'\in \operatorname {kern} \varphi$.  Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun  ${}g\in \operatorname {kern} \varphi$,  wir betrachten das inverse Element ${}g^{-1}$. Nach Fakt ist

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$

also auch  ${}g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$. 

Zur bewiesenen Aussage