Gruppenhomomorphismus/Urbild eines Normalteilers/Ist Normalteiler/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

${}M:=\varphi ^{-1}(N)\,.$

Sei ${}x\in G$ und ${}y\in M$. Wir müssen zeigen, dass ${}xyx^{-1}$ ebenfalls zu ${}M$ gehört. Es ist

${}\varphi (xyx^{-1})=\varphi (x)\varphi (y)(\varphi (x))^{-1}\,.$

Wegen ${}\varphi (y)\in N$ und da ${}N$ ein Normalteiler ist, gehört dies zu ${}N$. Also ist ${}xyx^{-1}\in \varphi ^{-1}(N)=M$.

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