Gruppenhomomorphismus/Urbild eines Normalteilers/Ist Normalteiler/Aufgabe/Lösung

Wir setzen

$M:={\phi }^{-1}(N).$

Es sei $x\in G$ und $y\in M$. Wir müssen zeigen, dass $xy{x}^{-1}$ ebenfalls zu $M$ gehört. Es ist

$\phi (xy{x}^{-1})=\phi (x)\phi (y)(\phi (x){)}^{-1}.$

Wegen $\phi (y)\in N$ und da $N$ ein Normalteiler ist, gehört dies zu $N$. Also ist $xy{x}^{-1}\in {\phi }^{-1}(N)=M$.

Zur gelösten Aufgabe