Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  ${}g\in G$  fixiert. Dass die Abbildung

$\varphi _{g}\colon \mathbb {Z} \longrightarrow G,\,n\longmapsto g^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen  ${}\varphi _{g}(1)=g^{1}=g$  erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow G$ durch ${}\varphi (1)$ eindeutig festgelegt, da  ${}\varphi (n)=(\varphi (1))^{n}$  für ${}n$ positiv und  ${}\varphi (n)={\left((\varphi (1))^{-1}\right)}^{-n}$  für ${}n$ negativ gelten muss.

Zur bewiesenen Aussage