Gruppenoperation/L Menge/Operation auf Abbildungsmenge von L/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Es sei ${}L$ eine weitere Menge und ${}\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ die Menge der Abbildungen von ${}L$ nach ${}M$. Dann wird durch

$G\times \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$

wobei ${}g\varphi$ durch ${}(g\varphi )(x)=g(\varphi (x))$ definiert sei, eine Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element ${}e\in G$ gilt ja

${}(e\varphi )(x)=e(\varphi (x))=\varphi (x)\,$

für jedes ${}x\in M$, also ${}e\varphi =\varphi$, und für beliebige ${}g,h\in G$, ${}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ und ${}x\in M$ gilt

${}((gh)\varphi )(x)=(gh)(\varphi (x))=g(h(\varphi (x)))=g((h\varphi )(x))=(g(h\varphi ))(x)\,,$

also ${}(gh)\varphi =g(h\varphi )$.