Gruppenoperation/L Menge/Operation auf Abbildungsmenge von L/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Es sei ${}L$ eine weitere Menge und ${}\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ die Menge der Abbildungen von ${}L$ nach ${}M$. Dann wird durch

$G\times \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)},\,(g,\varphi )\longmapsto g\varphi ,$

wobei ${}g\varphi$ durch  ${}(g\varphi )(x)=g(\varphi (x))$  definiert sei, eine Operation von ${}G$ auf ${}\operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$ gegeben. Für das neutrale Element  ${}e\in G$  gilt ja

${}(e\varphi )(x)=e(\varphi (x))=\varphi (x)\,$

für jedes  ${}x\in M$,  also  ${}e\varphi =\varphi$,  und für beliebige  ${}g,h\in G$,   ${}\varphi \in \operatorname {Abb} \,{\left(L,M\right)}$  und  ${}x\in M$  gilt

${}((gh)\varphi )(x)=(gh)(\varphi (x))=g(h(\varphi (x)))=g((h\varphi )(x))=(g(h\varphi ))(x)\,,$

also  ${}(gh)\varphi =g(h\varphi )$.