Gruppenoperation/L Menge/Operation auf Abbildungsmenge von L/Beispiel

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe $G$ auf einer Menge $M$ vor. Es sei $L$ eine weitere Menge und $\mathrm{Abb}(L,M)$ die Menge der Abbildungen von $L$ nach $M$. Dann wird durch

$G\times \mathrm{Abb}(L,M)⟶\mathrm{Abb}(L,M),(g,\phi )⟼g\phi ,$

wobei $g\phi$ durch  $(g\phi )(x)=g(\phi (x))$  definiert sei, eine Operation von $G$ auf $\mathrm{Abb}(L,M)$ gegeben. Für das neutrale Element  $e\in G$  gilt ja

$(e\phi )(x)=e(\phi (x))=\phi (x)$

für jedes  $x\in M$,  also  $e\phi =\phi$,  und für beliebige  $g,h\in G$,   $\phi \in \mathrm{Abb}(L,M)$  und  $x\in M$  gilt

$((gh)\phi )(x)=(gh)(\phi (x))=g(h(\phi (x)))=g((h\phi )(x))=(g(h\phi ))(x),$

also  $(gh)\phi =g(h\phi )$.