Gruppenoperation/Symmetrische Gruppe/Produktmenge/Beispiel

Es sei ${}X$ eine Menge und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir setzen ${}M=X\times \cdots \times X$ mit ${}n$ Faktoren. Die Permutationsgruppe ${}S_{n}$ operiert auf ${}M$ durch

${}\sigma (x_{1},\ldots ,x_{n})={\left(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}\right)}\,,$

d.h. ${}\sigma$ vertauscht die Indizes. Die Fixpunkte dieser Operation sind genau die Diagonalelemente, also die Elemente der Form ${}(y,\ldots ,y)$. Wenn ${}r$ die Anzahl der verschiedenen Elemente in ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ bezeichnet und ${}a_{i}$, ${}1\leq i\leq r$, die Anzahl angibt, wie oft die einzelnen Werte auftreten, so ist die Isotropiegruppe zu ${}x$ gleich ${}S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{r}}$ (das sind diejenigen Permutationen, die einen jeden Index auf einen Index mit gleichem Eintrag abbilden) und besitzt genau ${}a_{1}!\cdots a_{r}!$ Elemente. Die zugehörige Bahn besitzt entsprechend ${}{\frac {n!}{a_{1}!\cdots a_{r}!}}$ Elemente.

Bei ${}X=\mathbb {R}$ sind die polynomialen Funktionen

$x_{1}+\cdots +x_{n},\,\sum _{i<j}x_{i}x_{j},\ldots ,x_{1}{\cdots }x_{n}$

(also die elementarsymetrischen Polynome) ${}S_{n}$-invariante Abbildungen nach ${}\mathbb {R}$.