Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt/Beweis

Beweis

Die Linksmultiplikation ist eine Bijektion auf ${}G$, da aus ${}gx=gy$ durch Multiplikation von links mit ${}g^{-1}$ sofort ${}x=y$folgt. Wegen ${}ex=x$ geht das neutrale Element auf die Identität. Ferner ist für jedes ${}x\in G$

${}L_{g{\tilde {g}}}(x)=(g{\tilde {g}})x=g({\tilde {g}}x)=g(L_{\tilde {g}}(x))=L_{g}(L_{\tilde {g}}(x))=(L_{g}L_{\tilde {g}})(x)\,,$

was ${}L_{g{\tilde {g}}}=L_{g}L_{\tilde {g}}$ bedeutet. Daher ist die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus. Zum Nachweis der Injektivität verwenden wir das Kernkriterium. Es sei also ${}L_{g}=\operatorname {id} \,$. Dann ist aber sofort

${}g=ge=L_{g}(e)=\operatorname {id} \,(e)=e\,.$

Zur bewiesenen Aussage