Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Die Äquivalenz von $(1)$ und $(3)$ (und die von $(2)$ und $(4)$) folgt aus Multiplikation mit $y^{-1}$ bzw. mit $y$. Die Äquivalenz von $(3)$ und $(4)$ folgt durch Übergang zum Inversen. Aus $(1)$ folgt $(5)$ wegen  $1\in H$.  Wenn $(5)$ erfüllt ist, so bedeutet das  $x{h}_1=y{h}_2$  mit gewissen  $h_1,h_2\in H$.  Damit ist  $x=y{h}_2{h}_1^{-1}$  und $(1)$ ist erfüllt. (4) und (6) sind nach Definition äquivalent. Da die Linksnebenklassen die Äquivalenzklassen sind, ergibt sich die Äquivalenz von (5) und (7).

Zur bewiesenen Aussage