Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt/Beweis

Beweis

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen ${}\geq 0$ oder beide ${}\leq 0$ sind. Es sei also ${}m$ positiv und ${}n$ negativ. Bei ${}m\geq -n$ kann man in ${}g^{m}g^{n}$ „innen“ ${}-n$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ zu ${}e_{G}$ kürzen, und übrig bleibt die ${}m-(-n)=(m+n)$-te Potenz von ${}g$, also ${}g^{m+n}$. Bei ${}m<-n$ kann man ${}m$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ kürzen und übrig bleibt die ${}-n-m=-(m+n)$- te Potenz von ${}g^{-1}$. Das ist wieder ${}g^{m+n}$.

Zur bewiesenen Aussage