Höhensatz/Aus Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $A,B,C$ das rechtwinklige Dreieck mit dem rechten Winkel an $C$ und es sei $D$ der Höhenfußpunkt von $C$ auf der durch $A$ und $B$ gegebenen Geraden. Wegen der Rechtwinkligkeit liegt dieser zwischen $A$ und $B$, d.h. es ist

$d(A,B)=d(A,D)+d(D,B).$

Nach dem Satz des Pythagoras (angewendet auf das rechtwinklige Dreieck $A,C,D$ mit rechtem Winkel an $D$) und nach dem Kathetensatz ist

$\begin{array}{cc}d(D,C{)}^2& =d(A,C{)}^2-d(A,D{)}^2\\ & =d(A,D)\cdot d(A,B)-d(A,D{)}^2\\ & =d(A,D)\cdot (d(A,B)-d(A,D))\\ & =d(A,D)\cdot d(D,B),\end{array}$

und dies ist die Aussage des Höhensatzes.

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