Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Beispiel

Es sei

${}{\mathbb {H} }=\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}={\left\{(x,y)\mid y>0\right\}}\,$

die obere Halbebene versehen mit der riemannschen Metrik, die durch

${}g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}\,$

und ${}g_{12}=0$ gegeben ist. Es handelt sich also um das mit der Funktion ${}{\frac {1}{y^{2}}}$ umskalierte Standardskalarprodukt. Die Norm eines Tangentialvektors in einem Punkt ${}(x,y)$ ist die um den Faktor ${}{\frac {1}{\vert {y}\vert }}$ umskalierte Standardnorm. Die Flächenform ist also durch die Dichte ${}{\frac {1}{y^{2}}}$ gegeben.