Halbebene/Poincaré/Riemannsche Geometrie/Christoffelsymbole/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an, d.h. wir betrachten die Halbebene von Poincaré ${}\mathbb {H}$ mit den riemannschen Fundamentalfunktionen ${}g_{11}=g_{22}={\frac {1}{y^{2}}}$ und ${}g_{12}=0$. Nach Fakt ist

${\frac {1}{2}}{\left(g^{k1}(\partial _{i}g_{j1}+\partial _{j}g_{i1}-\partial _{1}g_{ij})+g^{k2}(\partial _{i}g_{j2}+\partial _{j}g_{i2}-\partial _{2}g_{ij})\right)}$

${}\Gamma _{11}^{1}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}\partial _{1}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}=0\,,$

${}\Gamma _{11}^{2}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\partial _{2}\left({\frac {1}{y^{2}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{2}}{\left(y^{2}{\left(-\left({\frac {-2}{y^{3}}}\right)\right)}\right)}={\frac {1}{y}}\,$

und ähnlich ${}\Gamma _{12}^{1}=-{\frac {1}{y}}$, ${}\Gamma _{12}^{2}=0$, ${}\Gamma _{22}^{1}=0$, ${}\Gamma _{22}^{2}=-{\frac {1}{y}}$.