Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a$ und ${}b$ zwei Elemente ${}\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen

$a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\mbox{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$

(wobei die Exponenten auch ${}0$ sein können und ${}u,v$ Einheiten sind). Dann gilt ${}a{|}b$ genau dann, wenn ${}r_{i}\leq s_{i}$ ist für alle Exponenten ${}i=1,\ldots ,k$.

Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann

${}b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Fakt).

$\Box$