Hausdorff-Raum mit abzählbarer Basis/Überdeckungskompakt und folgenkompakt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $X$ kompakt und sei eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem $y\in X$ eine offene Umgebung $y\in U_y$ gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen $X=\bigcup _{y\in X}{U}_y$ gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung $X=\bigcup _{i=1}^n{U}_{y_i}$. Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Es sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da $X$ eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe eine abzählbare Teilmenge $J\subseteq I$ mit $X=\bigcup _{i\in J}{U}_i$. Wir können $J=\mathbb{N}$ annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung $X=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{U}_i$ keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere $\bigcup _{i=0}^n{U}_i\ne X$, und daher gibt es zu jedem $n\in \mathbb{N}$ ein $x_n\in X$ mit $x_n\in ̸\bigcup _{i=0}^n{U}_i$. Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt $x$. Da eine Überdeckung $X=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{U}_i$ vorliegt, gibt es ein $k\in \mathbb{N}$ mit $x\in U_k$. Da $x$ ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in $U_k$. Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für $n\ge k$ die Folgenglieder $x_n$ nicht zu $U_k$ gehören.

Zur bewiesenen Aussage