Heron-Verfahren/Quadrat/Rekursionsvorschrift/Konvergenz/Aufgabe

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei  $c\in K_{+}$.  Zu einem positiven  $y_0\in K_{+}$  betrachten wir die Folge ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$, die durch die Rekursionsvorschrift

$y_{n+1}:=\frac{y_n+2c+\frac{c^2}{y_n}}{4}$

definiert sei.

1. Berechne die Glieder $y_1,y_2$ zu  $c=5$  und  $y_0=1$. 
2. Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{c}$ zum positiven Startwert $x_0$, der

   $x_0^2=y_0$

   erfülle. Zeige

   $y_n=x_n^2$

   für alle  $n\in \mathbb{N}$. 

3. Zeige, dass ${\left(y_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ gegen $c$ konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in $K$ eine Quadratwurzel von $c$ gibt).

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