Heron-Verfahren/Quadrat/Rekursionsvorschrift/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   $y_1=\frac{1+10+25}{4}=\frac{36}{4}=9$

   und

   $y_2=\frac{9+10+\frac{25}{9}}{4}=\frac{81+90+25}{36}=\frac{196}{36}=\frac{49}{9}.$

2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion, der Induktionsanfang ist unmittelbar durch die Beziehung  $y_0=x_0^2$  für die Startglieder gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei  $y_n=x_n^2$  vorausgesetzt. Es ist dann einerseits

   $y_{n+1}=\frac{y_n+2c+\frac{c^2}{y_n}}{4}=\frac{x_n^2+2c+\frac{c^2}{x_n^2}}{4}$

   und andererseits

   $x_{n+1}^2={\left(\frac{x_n+\frac{c}{x_n}}{2}\right)}^2=\frac{x_n^2+2c+\frac{c^2}{x_n^2}}{4},$

   also ist

   $y_{n+1}=x_{n+1}^2.$

3. Nach Fakt ist für  $n\ge 1$ 

   $\frac{c}{x_n}\le x_{n+1}\le x_n$

   und daher

   $\frac{c^2}{y_n}\le y_{n+1}\le y_n.$

   Insbesondere ist  $y_n\ge c$. 

   
   

   $y_{n+1}-c=$

Zur gelösten Aufgabe