Heron-Verfahren/Quadrat/Rekursionsvorschrift/Konvergenz/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}y_{1}={\frac {1+10+25}{4}}={\frac {36}{4}}=9\,$

   und

   ${}y_{2}={\frac {9+10+{\frac {25}{9}}}{4}}={\frac {81+90+25}{36}}={\frac {196}{36}}={\frac {49}{9}}\,.$

2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion, der Induktionsanfang ist unmittelbar durch die Beziehung ${}y_{0}=x_{0}^{2}$ für die Startglieder gesichert. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei ${}y_{n}=x_{n}^{2}$ vorausgesetzt. Es ist dann einerseits

   ${}y_{n+1}={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}={\frac {x_{n}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}}{4}}\,$

   und andererseits

   ${}x_{n+1}^{2}={\left({\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {x_{n}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n}^{2}}}}{4}}\,,$

   also ist

   ${}y_{n+1}=x_{n+1}^{2}\,.$

3. Nach Fakt ist für ${}n\geq 1$

   ${}{\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n+1}\leq x_{n}\,$

   und daher

   ${}{\frac {c^{2}}{y_{n}}}\leq y_{n+1}\leq y_{n}\,.$

   Insbesondere ist ${}y_{n}\geq c$.

   
   

   ${}y_{n+1}-c=\,$

Zur gelösten Aufgabe