Heron-Verfahren/Wurzel 3/Wurzel 1 durch 3/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}x_{1}={\frac {1+3}{2}}=2\,$

   und

   ${}x_{2}={\frac {x_{1}+{\frac {3}{x_{1}}}}{2}}={\frac {2+{\frac {3}{2}}}{2}}={\frac {7}{4}}\,.$

2. Es ist

   ${}y_{1}={\frac {1+{\frac {1}{3}}}{2}}={\frac {2}{3}}\,$

   und

   ${}y_{2}={\frac {y_{1}+{\frac {\frac {1}{3}}{y_{1}}}}{2}}={\frac {{\frac {2}{3}}+{\frac {\frac {1}{3}}{\frac {2}{3}}}}{2}}={\frac {{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}}{2}}={\frac {\frac {7}{6}}{2}}={\frac {7}{12}}\,.$

3. Es ist

   ${}x_{0}\cdot y_{0}=1\cdot 1=1\,,$

   ${}x_{1}\cdot y_{1}=2\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {4}{3}}\,,$

   und

   ${}x_{2}\cdot y_{2}={\frac {7}{4}}\cdot {\frac {7}{12}}={\frac {49}{48}}\,.$

4. Die Heron-Folge ${}x_{n}$ konvergiert in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}{\sqrt {3}}$ und die Heron-Folge ${}y_{n}$ konvergiert in ${}\mathbb {R}$ gegen ${}{\frac {1}{\sqrt {3}}}$, daher konvergiert die Produktfolge ${}x_{n}\cdot y_{n}$ gegen ${}1$. Da dies zu ${}\mathbb {Q}$ gehört, konvergiert die Produktfolge auch in ${}\mathbb {Q}$.

Zur gelösten Aufgabe