Hesseform/Jeder Typ/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Funktion

${}f(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1},\ldots ,x_{p+q},x_{p+q+1},\ldots ,x_{n}):=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}\,.$

Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}={\begin{cases}2x_{i}{\text{ für }}i\leq p\,,\\-2x_{i}{\text{ für }}p<i\leq p+q\,,\\0{\text{ für }}i>p+q\,.\end{cases}}$

Damit sind alle gemischten zweiten Ableitungen ${}0$ und es ist

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}={\begin{cases}2{\text{ für }}i\leq p\,,\\-2{\text{ für }}p<i\leq p+q\,,\\0{\text{ für }}i>p+q\,.\end{cases}}$

Die Hesse-Matrix ist also eine Diagonalmatrix mit ${}p$ positiven und ${}q$ negativen Einträgen. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester

besitzt die Hesse-Form den Typ ${}(p,q)$.

Zur gelösten Aufgabe