Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der Nullabbildung ist  ${}x=0$  zu nehmen, sei also ${}\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei  ${}z\in V$  mit  ${}\varphi (z)\neq 0$  und sei  ${}U=\operatorname {kern} \varphi$.  Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass ${}\varphi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ${}U$ ein abgeschlossener Untervektorraum von ${}V$. Das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu  ${}w,w'\in U^{\perp }$  gibt es  ${}a\in {\mathbb {K} }$  mit  ${}\varphi (w')=a\varphi (w)$,  daher ist  ${}w'-aw\in U$  und wegen der Orthogonalität ist  ${}w'-aw=0$.  Wir schreiben

${}z=p_{U}(z)+y\,$

mit  ${}p_{U}(z)\in U$  und  ${}y\in U^{\perp }$  im Sinne von Fakt. Es ist  ${}\varphi (z)=\varphi (y)$.  Wir setzen

${}x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,$

dies sichert

${}{\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}$

Für  ${}v\in V$  mit der kanonischen Zerlegung

${}v=u+w\,$

ist dann

${}{\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage