Hilbertscher Basisatz/Affin-algebraische Menge als Faser über 0 einer Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein beschreibendes Ideal für ${}V$, also ${}V=V({\mathfrak {a}})$. Nach dem Hilbertschen Basissatz gibt es ${}F_{1},\ldots ,F_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ mit ${}{\mathfrak {a}}=(F_{1},\ldots ,F_{m})$. Damit ist insbesondere

${}V=V({\mathfrak {a}})=V(F_{1})\cap \ldots \cap V(F_{m})\,.$

Diese ${}F_{i}$ kann man zu einer Abbildung

$\varphi =(F_{1},\ldots ,F_{m})\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$

zusammenfassen. Dann ist ${}\varphi (P)=0$ genau dann, wenn alle Komponentenfunktionen null sind, und das ist genau dann der Fall, wenn ${}P\in V(F_{i})$ ist für alle ${}i$.

Zur bewiesenen Aussage