Hilbertscher Basisatz/Affin-algebraische Menge als Faser über 0 einer Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $𝔞$ ein beschreibendes Ideal für $V$ , also $V = V (𝔞)$ . Nach dem Hilbertschen Basissatz gibt es $F_{1}, \dots, F_{m} \in K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ mit $𝔞 = (F_{1}, \dots, F_{m})$ . Damit ist insbesondere

V = V (𝔞) = V (F_{1}) \cap \dots \cap V (F_{m}) .

Diese $F_{i}$ kann man zu einer Abbildung

φ = (F_{1}, \dots, F_{m}) : 𝔸_{K}^{n} ⟶ 𝔸_{K}^{m}

zusammenfassen. Dann ist $φ (P) = 0$ genau dann, wenn alle Komponentenfunktionen null sind, und das ist genau dann der Fall, wenn $P \in V (F_{i})$ ist für alle $i$ .

Zur bewiesenen Aussage