Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben
bzw.
, d.h.
teilt eine Potenz von
bzw.
gehört zum Radikal von
. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist
eine Einheit in
und es gibt einen
-Algebrahomomorphismus
.
Aus der Radikalzugehörigkeit
folgt sofort, dass
auf
verschwindet, also
. Die Umkehrung folgt, für
algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.
Bei

gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel

und

in
![{\displaystyle {}R=K[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b50496860d93ccc94f4c23024c22f00d5bdf8fe)
zeigt.

hat reell keine Nullstelle, also ist

, es ist aber

keine Einheit im Polynomring.