Hilbertscher Nullstellensatz/Äquivalent/D(f) in D(g)/R g nach R f/Aufgabe/Lösung

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Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben bzw. , d.h. teilt eine Potenz von bzw. gehört zum Radikal von . Wenn dies umgekehrt gilt, so ist eine Einheit in und es gibt einen -Algebrahomomorphismus .

Aus der Radikalzugehörigkeit folgt sofort, dass auf verschwindet, also . Die Umkehrung folgt, für algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Bei gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel und in zeigt. hat reell keine Nullstelle, also ist , es ist aber keine Einheit im Polynomring.