Hilbertscher Nullstellensatz/Äquivalent/D(f) in D(g)/R g nach R f/Aufgabe/Lösung

Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben ${}1/g=r/f^{n}$ bzw. ${}f^{n}=rg$, d.h. ${}g$ teilt eine Potenz von ${}f$ bzw. ${}f$ gehört zum Radikal von ${}(g)$. Wenn dies umgekehrt gilt, so ist ${}g$ eine Einheit in ${}R_{f}$ und es gibt einen ${}R$-Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\to R_{f}$.

Aus der Radikalzugehörigkeit ${}f\in \operatorname {rad} \,(g)$ folgt sofort, dass ${}f$ auf ${}V(g)$ verschwindet, also ${}V(g)\subseteq V(f)$. Die Umkehrung folgt, für ${}K$ algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.

Bei ${}K=\mathbb {R}$ gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel ${}f=1$ und ${}g=X^{2}+1$ in ${}R=K[X]$ zeigt. ${}g$ hat reell keine Nullstelle, also ist ${}V(g)={\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{1}=V(1)$, es ist aber ${}g$ keine Einheit im Polynomring.

Zur gelösten Aufgabe