Hilbertscher Nullstellensatz/Ebene algebraische Kurven/R und C/1/Aufgabe/Lösung

1. Der einzige reelle Punkt von ${}V(X^{2}+Y^{2})$ ist der Nullpunkt ${}(0,0)$, und dieser liegt auf ${}V(X^{2}-Y^{3})$. Also gilt ${}V(X^{2}+Y^{2})\subseteq V(X^{2}-Y^{3})\subseteq {\mathbb {A} }_{\mathbb {R} }^{2}$.
2. Im Komplexen gilt die entsprechende Inklusion nicht, da beispielsweise ${}(1,{\mathrm {i} })$ zu ${}V(X^{2}+Y^{2})$ gehört, aber wegen ${}1\neq {\mathrm {i} }^{3}$ nicht zu ${}V(X^{2}-Y^{3})$.
3. Würde ${}X^{2}-Y^{3}$ zum Radikal von ${}X^{2}+Y^{2}$ in ${}\mathbb {R} [X,Y]$ gehören, so würde dies unmittelbar auch in ${}\mathbb {C} [X,Y]$ gelten. Dies ist aber nach dem folgenden Punkt nicht der Fall.
4. Nach (der einfachen Richtung des) Hilbertschen Nullstellensatzes folgt aus (2), dass ${}X^{2}-Y^{3}$ nicht zum Radikal von ${}X^{2}+Y^{2}$ in ${}\mathbb {C} [X,Y]$ gehört.

Zur gelösten Aufgabe