Hilbertscher Nullstellensatz/Ebene algebraische Kurven/R und C/1/Aufgabe/Lösung

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  1. Der einzige reelle Punkt von ist der Nullpunkt , und dieser liegt auf . Also gilt .
  2. Im Komplexen gilt die entsprechende Inklusion nicht, da beispielsweise zu gehört, aber wegen nicht zu .
  3. Würde zum Radikal von in gehören, so würde dies unmittelbar auch in gelten. Dies ist aber nach dem folgenden Punkt nicht der Fall.
  4. Nach (der einfachen Richtung des) Hilbertschen Nullstellensatzes folgt aus (2), dass nicht zum Radikal von in gehört.