Hintereinanderschaltung/Bestellung und Zubereitung/Beispiel

Es sei ${}P$ eine Menge von Personen, die ein Café besucht, ${}G$ eine Menge von Getränken, die auf der Getränkekarte des Cafés aufgelistet sind, und ${}Z$ die Arbeitskräfte im Café, die für die Zubereitung verschiedener Getränke zuständig sind. Es wird eine Bestellung aufgegeben, wobei jede Person ${}p\in P$ genau ein Getränk ${}g=g(p)\in G$ bestellt, d.h. man hat eine (Bestell-)Abbildung

$\beta \colon P\longrightarrow G,\,p\longmapsto \beta (p).$

Die

Injektivität der Abbildung bedeutet, dass alle Personen ein verschiedenes Getränk bestellen (was sein kann oder nicht sein kann, das ist eben eine Eigenschaft der Bestellung=Abbildung) und die Surjektivität bedeutet, dass jedes Getränk der Karte mindestens einmal bestellt wird. Das Bild der Abbildung ist die Menge aller Getränke, die von der Personengruppe bestellt wird (mindestens ein Mal). Dies ist eine Teilmenge der Getränkemenge. Zu einer Teilmenge ${}S$ der Personen, also beispielsweise alle Frauen oder alle Männer oder alle mit großem Durst gehört die Bildmenge ${}\beta (S)$, die aus allen Getränken besteht, die diese Teilmenge bestellt.

Zu einer Teilmenge ${}T\subseteq G$ der Getränkemenge ist das Urbild ${}\beta ^{-1}(T)$ die Menge aller Personen, deren bestelltes Getränk zu ${}T$ gehört. Wenn ${}A$ die alkoholischen Getränke sind und ${}H$ die Heißgetränke, so ist ${}\beta ^{-1}(A)$ die Teilmenge der Personen, die was Alkoholisches bestellt hat und ${}\beta ^{-1}(H)$ sind die Heißgetränkeliebhaber.

Im Café ist für jede Getränkeart genau ein Zubereiter zuständig. Alle Kaffee-ähnlichen Getränke werden von Bertha zubereitet, alle Cocktails von Heinz geschüttelt, für's Bier ist Claudia zuständig, etc. Dies kann man als eine Zuständigkeitsabbildung

$\varphi \colon G\longrightarrow Z,\,g\longmapsto \varphi (g),$

auffassen. Auf dem Dienstplan wird wahrscheinlich diese Abbildung dadurch beschrieben, dass zu jedem Zubereiter ${}z\in Z$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(\{z\})$ angegeben wird, also die Teilmenge der Getränke, für die ${}z$ zuständig ist. Die Zuständigkeitsabbildung ist vermutlich surjektiv, da jeder Zubereiter für mindestens ein Getränk zuständig sein sollte (wenn man mit der Gesamtpersonalmenge ${}Z'$ arbeitet, sieht das anders aus). Injektiv ist sie vermutlich nicht, denn das würde bedeuten, dass jeder Zubereiter nur für ein Getränk zuständig ist. Zu einer Teilmenge ${}T$ der Getränkemenge ist das Bild ${}\varphi (T)$ diejenige Teilmenge der Zubereiter, die genau alle Zubereiter dieser Getränketeilmenge umfasst. Zu ${}U\subseteq Z$ ist ${}\varphi ^{-1}(U)$ die Teilmenge aller Getränke, deren zuständiger Zubereiter zu ${}U$ gehört.

Alle Personen waren nun hoch zufrieden mit ihren Getränken und wollen über die Bedienung einen Dankesgruß an die jeweiligen Zubereiter ihrer Getränke weiterreichen. Besucher Hans war mit seinem Bier sehr zufrieden, das von Claudia ausgeschenkt wurde, deshalb möchte Hans die Claudia grüßen. Die Hintereinanderschaltung aus der Bestellungsabbildung ${}\beta$ und der Zubereitungsabbildung ${}\varphi$ ergibt dann die Grußabbildung

$\gamma =\varphi \circ \beta \colon P\longrightarrow Z,\,p\longmapsto \varphi (\beta (p)).$

Es gelten vielfache Beziehungen zwischen den Einzelabbildungen und der Gesamtabbildung. Beispielsweise gilt

${}\gamma ^{-1}(\{{\text{Heinz}}\})=\beta ^{-1}(\varphi ^{-1}(\{{\text{Heinz}}\}))=\beta ^{-1}({\text{Cocktails}})\,,$

d.h., die Menge der Personen, die Heinz grüßen, ist gleich der Menge der Personen, die einen Cocktail bestellt haben. Wenn die Bestellung nicht injektiv ist, so kann auch die Grußabbildung nicht injektiv sein, die Umkehrung muss aber nicht gelten.