Holomorphe Funktion/Außen unbeschränkter Kreisring/Unwesentliche Singularität nach Invertierung/Rationale Funktion/Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auch einem nach außen unbeschränkten Kreisring ${}U$ definierte holomorphe Funktion. Zeige, dass ${}f$ genau dann eine rationale Funktion ist, wenn die auf einer offenen punktierten Umgebung ${}V$ der ${}0$ definierte holomorphe Funktion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto f{\left({\frac {1}{w}}\right)},$

im Nullpunkt keine wesentliche Singularität

besitzt.

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