Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt/Beweis

Beweis

Wir müssen zeigen, dass eine holomorphe Funktion ${}g$, deren Taylorentwicklung der Ordnung ${}r$ mit der Taylorentwicklung der Ordnung ${}r$ von ${}f$ übereinstimmt, unter der gegebenen Voraussetzung bereits rechtsäquivalent zu ${}f$ ist. Wir können ${}g$ als ${}g=f+h$ mit

${}h\in {\mathfrak {m}}^{r+1}\,$

ansetzen. Wir wollen Fakt verwenden. Wir betrachten also die holomorphe Hilfsfunktion

${}H(t,z)=f(z)+th(z)\,$

für ${}t\in {\mathbb {C} }$ und müssen in den lokalen Ringen zu ${}(s,0)\in [0,1]\times {\mathbb {C} }^{n}$ (die wir unabhängig von ${}s$ mit ${}R$ bezeichnen) die Zugehörigkeit

${}h\in {\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}{\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$

nachweisen. Wir setzen

${}{\mathfrak {a}}={\left(\partial _{z_{1}}H,\ldots ,\partial _{z_{n}}H\right)}\,$

und

${}{\mathfrak {m}}=(z_{1},\ldots ,z_{n})\,$

und betrachten diese Ideale in ${}R$, das maximale Ideal von ${}R$ sei mit ${}{\mathfrak {n}}$ bezeichnet. Es ist

${}\partial _{z_{j}}f=\partial _{z_{j}}H-t\partial _{z_{j}}h\in {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r}\,.$

Die Voraussetzung

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\,$

gilt entsprechend auch in ${}R$, also ergibt sich

${}{\begin{aligned}{\mathfrak {m}}^{r+1}&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\left(\partial _{z_{1}}f,\ldots ,\partial _{z_{n}}f\right)}+{\mathfrak {m}}^{r+2}R\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+2}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}.\end{aligned}}$

Mit

${}M={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\,$

und

${}N={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\,$

gilt

${}{\begin{aligned}M&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&={\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}^{r+1}\\&\subseteq N+{\mathfrak {n}}M.\end{aligned}}$

Mit dem Lemma von Nakayama folgt ${}M=N$ und insbesondere

${}{\mathfrak {m}}^{r+1}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}\,.$

Somit gilt ${}h\in {\mathfrak {m}}{\mathfrak {a}}$.

Zur bewiesenen Aussage