Holomorphe Funktion/Entfaltung/Addition/Fasern/Bemerkung

Es sei $f:U\to ℂ$ eine holomorphe Funktion auf  $U\subseteq {ℂ}^n$  offen. Dann besitzt die Entfaltung

$E:U\times ℂ⟶ℂ,(x,t)⟼f(x)-t,$

die Eigenschaft, dass die Nullstellenmenge zu  $E(-,t)=f_t$  bei $t$ fixiert einfach das Urbild von $t$ unter $f$ ist. Es ist ja unmittelbar

$E(-,t{)}^{-1}(0)=f_t^{-1}(0)=\{x\in U\mid f_t(x)=0\}=\{x\in U\mid f(x)=t\}=f^{-1}(t).$

D.h. in dieser Entfaltung treten die benachbarten Fasern $f^{-1}(t)$ zu  $t\in ℂ$  als deformierte Fasern auf. Mit Entfaltungen studiert man also insbesondere auch, wie sich die Nullstellenmenge zu $f$ bezogen auf die benachbarten Fasern verhält.