Holomorphe Funktion/Entfaltung/Affine Entfaltung/Bemerkung

Es seien ${}f$ und ${}g$ holomorphe Funktionen auf ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen. Dann besitzt die Entfaltung

$E\colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,t)\longmapsto (1-t)f(P)+tg(P),$

die Eigenschaft, dass ${}E(-,0)=f$ und ${}E(-,1)=g$ ist. Von daher gibt es Entfaltungen, die jede holomorphe Funktion in jede andere holomorphe Funktion deformieren. Insbesondere treten glatte Fasern und beliebige singuläre Fasern in einer Entfaltung auf. Von daher ist die Eigenschaft relevanter, wie die deformierten Funktionen bzw. Nullstellengebilde in einer beliebig kleinen Umgebung aussehen. Eine grundsätzliche Beobachtung dabei ist, dass in einer kleinen offenen Umgebung die Funktionen weniger singulär sind als in einer speziellen Faser. Zu einer regulären Funktion sind auch die deformierten Funktionen in einer Umgebung regulär.