Holomorphe Funktion/Kreisscheibe in sich/Schwarz/Fakt

Es sei

$f\colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow U{\left(0,1\right)}$

holomorph mit ${}f(0)=0$.

Dann gilt

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {z}\vert \,$

für alle ${}z$ und

${}\vert {f'(0)}\vert \leq 1\,.$

Wenn in der ersten Abschätzung für ein ${}z\neq 0$ oder wenn in der Ableitungsabschätzung Gleichheit gilt, so ist ${}f$ eine Drehung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen