Holomorphe Funktion/Kreisscheibe in sich/Schwarz/Fakt

Es sei

$f:U(0,1)⟶U(0,1)$

holomorph mit  $f(0)=0$. 

Dann gilt

$|f(z)|\le |z|$

für alle $z$ und

$|f^{\prime }(0)|\le 1.$

Wenn in der ersten Abschätzung für ein  $z\ne 0$  oder wenn in der Ableitungsabschätzung Gleichheit gilt, so ist $f$ eine Drehung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen