Holomorphe Funktion/Kreisscheibe in sich/Schwarz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktion ${}{\frac {f(z)}{z}}$ ist wegen  ${}f(z)=0$  auf der Kreisscheibe holomorph, und wegen (Differenzenquotient)

${}{\frac {f(z)}{z}}={\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}\,$

ist der Wert von ${}{\frac {f(z)}{z}}$ im Nullpunkt gleich ${}f'(0)$. Auf dem Kreis mit ${}0$ als Mittelpunkt und mit Radius  ${}r<1$  ist

${}\vert {\frac {f(z)}{z}}\vert \leq {\frac {1}{\vert {z}\vert }}={\frac {1}{r}}\,.$

Da ${}r$ beliebig nahe an ${}1$ gewählt werden kann, ergibt sich die Abschätzung

${}\vert {\frac {f(z)}{z}}\vert \leq 1\,,$

was einerseits  ${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {z}\vert$  und andererseits  ${}\vert {f'(0)}\vert \leq 1$  impliziert.

Betrachten wir jetzt die Situation, in der  ${}\vert {f(z_{0})}\vert =\vert {z_{0}}\vert$  für ein  ${}z_{0}\neq 0$  gilt. Dies bedeutet, dass die Funktion ${}{\frac {f(z)}{z}}$ ihr Maximum im Punkt ${}z_{0}$ annimmt. Aus dem Maximumsprinzip folgt, dass ${}{\frac {f(z)}{z}}$ konstant ist, also  ${}f(z)=cz$  mit einer Konstanten ${}c$, deren Betrag gleich ${}1$ sein muss. Das Argument im Fall von Gleichheit in der Ableitungsabschätzung ist entsprechend.

Zur bewiesenen Aussage