Holomorphe Funktion/Lokaler Homöomorphismus/Faserkonstanz/Überlagerung/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in V$ mit den Urbildpunkten ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es zu jedem Punkt ${}Q_{i}$ eine offene Umgebung ${}Q_{i}\in U_{i}\subseteq U$, die homöomorph auf ${}V_{i}\subseteq V$ abbildet. Wir können davon ausgehen, dass die ${}U_{i}$ paarweise disjunkt sind. Es sei

${}W=V_{1}\cap \ldots \cap V_{n}\,.$

Dies ist eine offene Umgebung von ${}P$, und

${}{\tilde {U}}_{i}=U_{i}\cap f^{-1}(W)\,$

sind offene Umgebungen von ${}Q_{i}$, die homöomorph auf ${}W$ abbilden. Wir behaupten, dass ${}f^{-1}(W)$ die disjunkte Vereinigung der ${}{\tilde {U}}_{i}$ ist und damit eine Überlagerung vorliegt. Wäre dies nämlich nicht der Fall, so würde es einen Punkt ${}R\in f^{-1}(W)$

geben, der nicht zur Vereinigung ${}\bigcup _{i=1}^{n}{\tilde {U}}_{i}$ gehört. Doch dann besitzt ${}f(R)$ neben den Urbildpunkten in ${}{\tilde {U}}_{i}$ noch einen weiteren Urbildpunkt im Widerspruch zur Voraussetzung über die Konstanz der Fasern.

Zur gelösten Aufgabe