Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es nach Aufgabe einen Häufungspunkt ${}a$ der Nullstellenmenge, der wegen der Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge insbesondere zu ${}U$ gehört . Nach Fakt wird ${}f$ in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben, mit Fakt folgt, dass die Potenzreihe zu ${}a$ die Nullreihe ist und dass daher ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ gleich ${}0$ ist.

Wir betrachten nun

$N={\left\{w\in U\mid {\text{ die beschreibende Potenzreihe um }}w{\text{ ist die Nullreihe}}\right\}}\,.$

Nach Voraussetzung gehört ${}a$ zu ${}N$, die Menge ${}N$ ist also nicht leer. Die Menge ${}N$ ist offen: Wenn ${}w\in N$ ist, so ist die Funktion ${}f$ in einer offenen Umgebung ${}U{\left(w,r\right)}$ die Nullfunktion, daher ist auch für alle Punkte ${}w'\in U{\left(w,r\right)}$ die beschreibende Potenzreihe die Nullreihe. Die Menge ${}N$ ist aber auch abgeschlossen. Es sei ${}w_{n}$ eine Folge in ${}N$, die gegen ${}w\in U{\left(0,R\right)}$ konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt ${}w_{n}$ die Nullreihen sind, ist insbesondere ${}f(w_{n})=0$. Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ${}w$ ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt wieder nach Fakt, dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu ${}N$ gehört. ${}N$ ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz ${}U{\left(0,R\right)}$.

Zur bewiesenen Aussage