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Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt/Beweis

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Beweis

Nehmen wir an, dass die Nullstellenmenge nicht diskret ist. Dann gibt es nach Aufgabe einen Häufungspunkt der Nullstellenmenge, der wegen der Abgeschlossenheit der Nullstellenmenge insbesondere zu gehört . Nach Fakt wird in jedem Punkt durch eine Potenzreihe beschrieben, mit Fakt folgt, dass die Potenzreihe zu die Nullreihe ist und dass daher in einer Umgebung von gleich ist.

Wir betrachten nun

Nach Voraussetzung gehört zu , die Menge ist also nicht leer. Die Menge ist offen: Wenn ist, so ist die Funktion in einer offenen Umgebung die Nullfunktion, daher ist auch für alle Punkte die beschreibende Potenzreihe die Nullreihe. Die Menge ist aber auch abgeschlossen. Es sei eine Folge in , die gegen konvergiere. Da die Potenzreihen mit Entwicklungspunkt die Nullreihen sind, ist insbesondere . Für die Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ergibt sich also, dass der Entwicklungspunkt ein Häufungspunkt der Nullstellen ist. Daraus folgt wieder nach Fakt, dass diese Potenzreihe ebenfalls die Nullreihe ist, also zu gehört. ist also offen und abgeschlossen und nicht leer, also ist es ganz .