Holomorphe Funktion/Offen/Fakt/Beweis

Beweis

Der Zusammenhang stellt in Verbindung mit Fakt sicher, dass die Funktion nirgendwo konstant ist. Es sei ${}V\subseteq U$ eine offene Teilmenge und ${}P\in V$ ein Punkt. Aufgrund von Fakt gibt es eine offene Umgebung ${}P\in W\subseteq V$, auf der die Abbildung biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist. Das Bild einer Kreisscheibe ${}U{\left(0,r\right)}$ unter ${}z\mapsto z^{k}$ ist aber

${}{\left\{z^{k}\mid \vert {z}\vert <r\right\}}={\left\{w\mid \vert {w}\vert <r^{k}\right\}}\,$

und somit selbst eine offene Kreisscheibe. Daher ist ${}\varphi (W)$ offen in ${}{\mathbb {C} }$. Die Vereinigung solcher offener Mengen zeigt, dass das Bild von ${}V$ offen ist.

Zur bewiesenen Aussage