Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Fakt

Es sei  ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$  eine zusammenhängende offene Teilmenge,  ${}P\in U$  ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann gibt es eine offene Umgebung  ${}P\in V\subseteq U$  derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.

Das bedeutet, dass es ein  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  und biholomorphe Abbildungen

$\theta \colon V\longrightarrow V'$

mit  ${}V'\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Kreisscheibe um ${}0$ und eine Verschiebung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart gibt, dass

${}\varphi \circ f\circ \theta ^{-1}=w^{k}\,$

auf ${}V'$ gilt (wobei ${}w$ die Variable auf ${}V'$ bezeichnet).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen