Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Die biholomorphe Abbildung ${}\varphi \colon V_{1}\rightarrow V_{2}$, die es aufgrund der Rechtsäquivalenz gibt, überführt die Faser ${}V_{1}\cap f_{1}^{-1}(0)$ unmittelbar in die Faser ${}V_{2}\cap f_{2}^{-1}(0)$. Die biholomorphe Abbildung definiert dabei einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

${\mathcal {O}}_{n}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{n},\,h\longmapsto h\circ \varphi ,$

der ${}f_{2}$ in ${}f_{1}$ überführt. Dies induziert einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

${\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{2}\right)}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{1}\right)}.$

Zur bewiesenen Aussage