Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt

Es seien ${}f_{1}\colon U_{1}\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}f_{2}\colon U_{2}\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit  ${}U_{1},U_{2}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$  offen, mit  ${}0\in U_{1},U_{2}$  und  ${}f_{1}(0)=f_{2}(0)=0$.  Die beiden Funktionen seien rechtsäquivalent.

Dann sind die Hyperflächen ${}f_{1}^{-1}(0)$ und ${}f_{2}^{-1}(0)$ im Nullpunkt zueinander lokal analytisch isomorph und es liegt ein ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus  ${}{\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{1}\right)}\cong {\mathcal {O}}_{n}/{\left(f_{2}\right)}$  vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen