Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die holomorphe Funktion

$\phi :U\times ℂ⟶ℂ,(z,w)⟼f(z)-w^k,$

in zwei Variablen, es sei  $Q\in ℂ$  ein Punkt mit  $Q^k=f(P)$.  Es ist  $\phi (P,Q)=0$.  Die Abbildung $\phi$ besitzt die partiellen Ableitungen $f^{\prime }(z)$ und $k{w}^{k-1}$. Im Punkt $(P,Q)$ ist definitiv die zweite partielle Ableitung $\ne 0$, daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Fakt anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge  $V\subseteq ℂ$  definierte holomorphe Funktion

$V⟶{ℂ}^2,z⟼(z,h(z)),$

die auf der Faser von $\phi$ über $0$ liegt und  $h(P)=Q$  erfüllt. Damit ist

$\phi (z,h(z))=f(z)-h(z{)}^n=0,$

also  $h(z{)}^n=f(z)$  für alle  $z\in V$. 

Zur bewiesenen Aussage