Holomorphe Funktion/Wert nicht 0/Wurzeln/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die holomorphe Funktion

$\varphi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{k},$

in zwei Variablen, es sei ${}Q\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit ${}Q^{k}=f(P)$. Es ist ${}\varphi (P,Q)=0$. Die Abbildung ${}\varphi$ besitzt die partiellen Ableitungen ${}f'(z)$ und ${}kw^{k-1}$. Im Punkt ${}(P,Q)$ ist definitiv die zweite partielle Ableitung ${}\neq 0$, daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Fakt anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion

$V\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2},\,z\longmapsto (z,h(z)),$

die auf der Faser von ${}\varphi$ über ${}0$ liegt und ${}h(P)=Q$ erfüllt. Damit ist

${}\varphi (z,h(z))=f(z)-h(z)^{n}=0\,,$

also ${}h(z)^{n}=f(z)$ für alle ${}z\in V$.

Zur bewiesenen Aussage