Holomorphe Funktionen/Quadrik/Summe/Rechtsäquivalenz/Invertierbarkeit/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}z_{i}&=\varphi _{i}(x,y)\\&=a_{i1}x_{1}+\cdots +a_{ik}x_{k}+b_{i1}y_{1}+\cdots +b_{in}y_{n}+{\text{ höhere Terme }}.\end{aligned}}$

Da die Gesamtabbildung biholomorph ist, hat man einen ${}{\mathbb {C} }$-Algebraisomorphismus

${\mathcal {O}}_{z_{i},w_{j}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{x_{i},y_{j}},$

der insbesondere die maximalen Ideale und deren Potenzen respektiert. Somit haben wir auch einen Isomorpismus modulo ${}{\mathfrak {m}}^{3}$. Unter dieser gestutzen Abbildung wird ${}z_{1}^{2}+\cdots +z_{k}^{2}$ auf

${}{\left(a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1k}x_{k}+b_{11}y_{1}+\cdots +b_{1n}y_{n}\right)}^{2}+\cdots +{\left(a_{k1}x_{1}+\cdots +a_{kk}x_{k}+b_{k1}y_{1}+\cdots +b_{kn}y_{n}\right)}^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}\,$

abgebildet. Dies Gleichung gilt auch, wenn man alle ${}y_{i}$ gleich ${}0$ setzt, und ebenso, wenn man alle ${}b_{i}$

gleich ${}0$ setzt. Dann ist aber die Matrix ${}{\left(a_{ij}\right)}$ invertierbar.

Zur gelösten Aufgabe