Es seien g 1 : V → C {\displaystyle {}g_{1}\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }} und g 2 : V ′ → C {\displaystyle {}g_{2}\colon V'\rightarrow {\mathbb {C} }} mit 0 ∈ V , V ′ ⊆ C n {\displaystyle {}0\in V,V'\subseteq {\mathbb {C} }^{n}} offen, holomorphe Funktionen mit g 1 , g 2 ∈ m 3 {\displaystyle {}g_{1},g_{2}\in {\mathfrak {m}}^{3}} in den Variablen y 1 , … , y n {\displaystyle {}y_{1},\ldots ,y_{n}} bzw. w 1 , … , w n {\displaystyle {}w_{1},\ldots ,w_{n}} Es sei
eine biholomorphe Abbildung mit U ⊆ C k {\displaystyle {}U\subseteq {\mathbb {C} }^{k}} und W ⊆ C k + n {\displaystyle {}W\subseteq {\mathbb {C} }^{k+n}} offen und mit φ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {}\varphi (0)=0} und mit
Zeige, dass dann die k × k {\displaystyle {}k\times k} -Untermatrix ( ∂ x i φ j ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle {}{\left(\partial _{x_{i}}\varphi _{j}\right)}_{1\leq i,j\leq k}} der Jacobi-Matrix zu φ {\displaystyle {}\varphi } im Nullpunkt invertierbar ist.
und
mit
offen,
holomorphe Funktionen
mit
in den Variablen 
bzw. 
Es sei
und
offen und mit
und mit
-Untermatrix
der
Jacobi-Matrix
zu 
im Nullpunkt
invertierbar
ist.
