Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Rückrichtung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P\in U$ ein Punkt derart, dass die Funktionsfamilie in keiner offenen Ballumgebung beschränkt ist. Dann gibt es insbesondere zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ eine Funktion ${}f_{n}\in T$ derart, dass ${}\vert {f_{n}}\vert$ auf ${}U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ nicht durch ${}n$ beschränkt ist. Insbesondere gibt es dann einen Punkt ${}P_{n}\in U{\left(P,{\frac {1}{n}}\right)}$ mit ${}\vert {f_{n}(P)}\vert \geq n$. Die Menge ${}A=\{P\}\cup {\left\{P_{n}\mid n\in \mathbb {N} _{+}\right\}}$ ist kompakt. Würde es eine Teilfolge geben, die gleichmäßig auf ${}A$ konvergiert, so würde es insbesondere eine stetige Grenzfunktion ${}f$ geben. Es gibt dann insbesondere ein ${}n_{0}$ mit

${}\vert {f(Q)-f_{n}(Q)}\vert \leq 1\,$

für alle ${}n\geq n_{0}$ (aus der Indexmenge der Teilfolge) und alle ${}Q\in A$. Ebenso gilt wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der ${}f_{n}$ auf ${}A$ für ${}n$ hinreichend groß

${}\vert {f_{n}(P)-f_{n}(P_{n})}\vert \leq 1\,.$

Dies zeigt, dass ${}f(P)$ beliebig groß ist.

Zur bewiesenen Aussage