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Homogenes Polynom/Extrema/Aufgabe/Lösung

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  1. Es ist
  2. Es sei ein Punkt . In jeder beliebig kleinen -Umgebung von gibt es von verschiedene Punkte der Form

    mit und . Nach Teil (1) ist

    Bei sind diese Punkte ebenfalls gleich , bei ist einer von ihnen kleiner und einer größer als , was die Existenz eines lokalen Extremums ausschließt.

  3. Im Nullpunkt besitzt den Wert . Es sei , . Wir betrachten das Verhalten von auf der Geraden . Bei ist auf der Geraden konstant gleich . Bei hängt das Vorzeichen von davon ab, ob positiv oder negativ ist. Daher kann im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen.